応用性

Boris and Book(1973) では(4)または(5)のスキー ムに対して FCT を施したが, 拡散を含むような他のスキームに対しても 応用することができる. 例えば上流差分に FCT を応用すると以下のよう な手順で計算を行なう(Book et al., 1975).

1. 普通に上流差分で計算する.
   
   $$\tilde{\rho }_{i} = \rho _{i}^{n}-\frac{\Delta t}{\Delta x} [\rho _{i}^{n}u_{i}^{n}-\rho _{i-1}^{n}u_{i-1}^{n}].$$
   
   

2. 各格子点間で差分を計算する.
   
   $$\Delta _{i+\frac{1}{2}} = \tilde{\rho }_{i+1}-\tilde{\rho }_{i}.$$
   
   

3. 補正フラックスを計算する.
   
   $$f^{c}_{i+\frac{1}{2}} = S_{i+\frac{1}{2}} \mbox{max} \{0, ... ...}{2}}\vert, \; S_{i+\frac{1}{2}}\Delta _ {i+\frac{3}{2}})\},$$
   
   
   
   
   $$S = \left\{ \begin{array}{lcl} +1 & \mbox{if} & \Delta _... ...box{if} & \Delta f_{i+\frac{1}{2}} < 0. \end{array} \right.$$
   
   
   ここで,
   
   $$\eta _{i+\frac{1}{2}}=\frac{1}{2}\epsilon _{i+\frac{1}{2}} (1-\epsilon _{i+\frac{1}{2}}),$$
   
   
   
   
   $$\epsilon _{i+\frac{1}{2}} = \frac{\Delta t}{\Delta x} \mbox{max}[u_{i}^{n}, u_{i+1}^{n}].$$
   
   

4. 補正を行なう.
   
   $$\rho _{i}^{n+1}=\tilde{\rho }_{i} - (f_{i+\frac{1}{2}}^{c}- f_{i-\frac{1}{2}}^{c}).$$
   
   

この場合 antidiffusive フラックスが $\eta _{i+\frac{1}{2}}\vert\Delta _ {i+\frac{1}{2}}\vert$ となっているだけで, 手順は先に示した SHASTA の場 合と同様である. つまり用いるスキームの antidiffusive フラックスが わかれば, FCT は簡単にそのスキームに適用することができる.

しかし当然のことながらスキームごとに antidiffusive フラックスは異 なる. よって適用するスキームを変更すると一から考察しなおさなければ ならない. これは結構面倒である. 実際に計算するときには一からコード を組み直さなければならなくなるからである. 何らかのより一般的な FCT の定義法があれば, スキーム全体の見通しの点や実際に計算を行なう上で 便利である.