... スキームと同じである¹

2 段の Lax-Wendroff スキームとは以下のような方法である.

$$\begin{eqnarray*} \rho _{i+\frac{1}{2}}^{n+\frac{1}{2}} &=& \frac{1}{2}(\rho _{... ...\frac{1}{2}}^{n+\frac{1}{2}}-f_{i-\frac{1}{2}}^{n+\frac{1}{2}}) \end{eqnarray*}$$

ただし $f_{i}^{n}=u_{i}^{n}\rho _{i}^{n}$ 等である. まず $\rho _ {i+\frac{1}{2}}^{n+\frac{1}{2}}$ を求め, その値を用いて $\rho _ {i+1}^{n+1}$ を求める. $u_{i}^{n}$ が一定の場合は $\rho _ {i+\frac{1}{2}}^{n+\frac{1}{2}}$ を消去して,

$$\rho _{i}^{n+1} = \rho _{i}^{n} - \frac{1}{2}\epsilon (\rho... ...psilon ^{2}(\rho _{i+1}^{n}-2\rho _{i} ^{n}+\rho _{i-1}^{n})$$

となる.

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... の実行手続きを以下にまとめる²

ここで示した補正過程は(5)式に基づいたものなので, (4)式と(5)式のずれに伴う部分は補正されない. $O((u_{i\pm 1}-u_{i})\Delta t/\Delta x) \sim O(\epsilon ) < 1$ として (4)式を展開すると, (5)式とのずれは,

$$\begin{eqnarray*} && \left(\frac{1}{2}+\epsilon \right) ^{2}(u_{i-1}^{n}-u_{i}... ...^{n}-u_{i}^{n}) \right]\frac{\Delta t}{\Delta x}\rho _{i}^{n}, \end{eqnarray*}$$

となる. これは $O(\epsilon )$ 以上のオーダーなので補正にとって最も 重要な項は 0 次の拡散項であることがわかる. なおこれから $O(\epsilon )$ の項のみを抜き出すと

$$\frac{1}{4}(u_{i-1}^{n}-u_{i}^{n})(\rho _{i-1}^{n} + \rho _... ... (\rho _{i+1}^{n} + \rho _ {i}^{n})\frac{\Delta t}{\Delta x}$$

となり, 拡散ではない. 速度場が滑らかで $O((u_{i\pm 1}-u_{i})\Delta t/\Delta x) < O(\epsilon )$ とみなせるような場合には, このずれを無視することができる.

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... 補正フラックスを計算する³

実際に計算を行なう場合 Boris and Book(1973) では antidiffusion 係 数(仮に $\mu$ とおく)を以下のようにして精度を上げている.

$$\mu = \left\{ \begin{array}{ll} 0.125[1+(1-0.25\overline{... ...ne{\rho } \\ 0.125 & \mbox{otherwise}. \end{array} \right.$$

ただし $\overline{\rho }=\sqrt{\rho _{min}\rho_{max}}$ であるが, $D_{i+\frac{1}{2}}$ が何であるかは Boris and Book(1973) には明示さ れていない.

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... る⁴

Boris and Book(1973) では脚注2に示したようにさらに細か い補正を行なうことでより高精度の結果を得ている(Boris and Book(1973), fig.3, fig.4 参照).

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