% ɽ��   dcpam5  �ϳز����λ�����������Ƴ�� -- �����������Ϥ�Ƴ��
%
% ���� 
%\Drireki{1994/04/13 ��������}
%\Drireki{1997/04/15 ���ٹ���}
%\Drireki{2008/06/15 ��������}
%

\section{�����������Ϥ�Ƴ��}

�������Ϥ� 6 �ܤ�ͽ���������� 1 �ܤο�������������ʤ�. ͽ����������, 
�����̤�Ϣ³�μ�, ������̤μ�, ��ư������(3 ��ʬ), Ǯ�ϳؤμ�����ʤ�. 
������, ���줾��, ��������¸§, ������̤���¸§, �����̤˴ؤ��뱿ư
����¸§, �����̤˴ؤ��������ͥ륮����¸§����Ƴ�Ф���. �����������ˤ�, 
���۵��Τξ������������Ѥ���
    \footnote{
	��������ȿ������, Ʊ��®�٤Ȳ��٤��Ĥ��Ȥ���ۤΤ����˲���
	���Ƥ���. �������ä�, ������˴ؤ��뱿ư����¸§����������ͥ륮����¸
	§����Ӿ������������θ����ɬ�פ��ʤ�.
     }.

��������: ������Ͽ��Ǥ�Ƴ�Ф��Թ��, ��������ε�������� $R^d$, 
�갵��Ǯ�� $C_p^d$, ���絤�ε�������� $R$ �Ȥ���. 
������, ��ǥ�μ����ˤĤ��Ƶ������̻�
��\htmladdnormallinkfoot{�����������ϤȤ���Υ����}
{http://www.gfd-dennou.org/library/dcpam/dcpam5/dcpam5\_current/doc/basic\_equations/htm/basic\_equations.htm}��
�Ρ��ϳز�����
�Ǥ�, ��������ε�������� $R$, �갵��Ǯ�� $C_p$ ��ɽ�����Ƥ���
�Τ�α�դ�����������. 

\subsection{����������}

�������, ������ξ����������Ϥ��줾��
    \begin{align}
       p^d & = \rho^{d} R^d T, \\
       p^v & = \rho^{v} R^v T
    \end{align}
�Ǥ���. ������$p$ �ϰ���, $\rho$��̩��, $R$�ϵ������, $T$�ϲ��٤Ǥ���,
$\bullet^d$, $\bullet^v$ �Ϥ��줾�촥���������ӿ������
�ؤ����̤Ǥ��뤳�Ȥ򼨤�. �������ä�, ���� $p=p^d+p^v$ ��, 
    \begin{align}
     \begin{split}
       p & =  (\rho^d R^d + \rho^v R^v) T \\
        & = \rho R^d ( 1 + \epsilon_v q ) T
     \end{split}    
    \end{align}
�Ȥʤ�. ������, $q=\rho_v/\rho$ ���漾, �Ǥ���,
$\epsilon_v \equiv 1/\epsilon -1$,
$\epsilon \equiv R^d/R^v$ �Ǥ���. �������ä�, 
���絤�ξ�����������,
    \begin{align}
       \Deqlab{����������}
       p = \rho R T.
    \end{align}
������, $R \equiv R^d ( 1+\epsilon_v q )$ �Ǥ���. ���뤤��, ������ 
$T_v \equiv T ( 1 + \epsilon_v q )$ ���Ѥ����,
    \begin{align}
       \Deqlab{���������������ٻ���}
       p = \rho R^d T_v
    \end{align}
��ɽ�����. 

\subsection{Ϣ³�μ�}

���絤�μ�����¸§��, ��������������Ǥ�̵�뤹���
    \footnote{
	���Ǽ����褦�˿�������Ǥ��������Ǥ�ޤ�Ƥ���. �������ä�,
	���絤�μ�����¸§��, ��������������Ǥ������Ƥ������̤�
	��¸����褦��, �����絤�̤��Ѳ����뤳�Ȥ�
	�������Ƥ��뤳�Ȥˤʤ�.
	}, 
    \begin{align}
        \DP{\rho}{t}
      + \DP{}{x_j}( \rho v_j )
      = 0.
      \Deqlab{���絤���̥ե�å���}
    \end{align}
������, $v$����®�Ǥ���. 
�饰��󥸥�����ǵ��Ҥ����, 
    \begin{align}
        \DD{\rho}{t}
      + \rho \Ddiv \Dvect{v}
      = 0.
    \end{align}

\subsection{������μ�}

�����̩�� $\rho^v$ ���Ф��������¸§��, ñ�̻���ñ�����Ѥ����������
�����̤� $S$ �Ȥ����, 
    \begin{align}
     \DP{\rho^v}{t}
      + \DP{}{x_j} ( \rho^v v_j )
      = S.
      \Deqlab{��������̥ե�å���}
    \end{align}
�漾 $q=\rho^v/\rho$ �˴ؤ��뼰��, ����Ū�ˤ�\Deqref{���絤���̥ե��
����} ��\Deqref{��������̥ե�å���} �������뤳�Ȥ��Ǥ���. ������, 
���ξ��, \Deqref{���絤���̥ե�å���}�ǿ�������������Ǥ�̵�뤷���Τ�, 
�������������ʤ�. �������漾���������Ǥ˴ؤ��������� $S_q$ ����
������. 
    \begin{align}
      \DD{q}{t} = S_q.
    \end{align}

\subsection{��ư������}

��ư����¸§��, ��������������ǤˤȤ�ʤ���ư���Ѳ���̵�뤹��м��Τ�
���˽񤱤�.
    \begin{align}
        \DP{}{t}(\rho v_i)
      + \DP{}{x_j}( \rho v_i v_j )
      + \DP{p}{x_i} 
      - \DP{\sigma_{ij}}{x_j}
      + \rho \DP{\Phi^*}{x_i}
     = {\cal F}_i^{\prime}.
     \Deqlab{��ư�̥ե�å���}
    \end{align}
%
������, $\sigma_{ij}$ ��Ǵ�����ϥƥ󥽥�, $\Phi^*$ ������
�ΰ��Ϥˤ��ݥƥ󥷥��
    \footnote{
        ����ϱ��Ϥ��θ���ʤ������μ��̤ˤΤߵ���
        �����ݥƥ󥷥��.},
${\cal F}_i^{\prime}$ �Ϥ���¾�γ��Ϲ�Ǥ���. ���뤤��Ϣ³�μ�
���Ѥ��ƥ饰��󥸥�����ǵ��Ҥ����
    \begin{align}
        \rho \DD{v_i}{t}
      + \DP{p}{x_i}
      - \DP{\sigma_{ij}}{x_j}
      + \rho \DP{\Phi^*}{x_i}
     = {\cal F}_i^{\prime }
    \end{align}
�Ȥʤ�. ������, Ǵ����ȳ��Ϲ�� ${\cal F}_i$ �Ȥ���, ����˥٥��ȥ�ɽ������.
    \begin{align}
        \rho \DD{\Dvect{v}}{t}
      + \Dgrad p
      + \rho \Dgrad \Phi^*
     = \Dvect{\cal F}.
    \end{align}

\subsection{Ǯ�ϳؤμ�}

ñ�̼��̤�����������ͥ륮����, ��ư���ͥ륮�� $\Dvect{v}^2/2$ ��������
�ͥ륮�� $\varepsilon$ ����ӥݥƥ󥷥�륨�ͥ륮�� $\Phi^*$ ���¤�ɽ
�������. ���λ����Ѳ�Ψ�μ���, ��������������Ǥˤ��ƶ���̵�뤹���,
    \begin{align}
            \DP{}{t} 
             \left[ \rho 
                   \left(   \frac{1}{2} \Dvect{v}^2 
                 + \varepsilon + \Phi^* \right) \right]
         + \DP{}{x_j} \left[ 
             \rho 
               \left(   \frac{1}{2} \Dvect{v}^2 
                    + \varepsilon + \Phi^* \right)v_j
                    + p v_j - \sigma_{ij}v_i  
            \right]
      =  \rho Q + {\cal F}_i^{\prime} v_i
      \Deqlab{�����ͥ륮���ե�å���}
    \end{align}
�Ǥ���. ������, $Q$ �ϳ�������β�ǮΨ�Ǥ���. ����, ��ư���ͥ륮���ȥ�
�ƥ󥷥�륨�ͥ륮�����¤���¸����, ��ư����¸�� \Deqref{��ư�̥ե�å�
��} �� $v_i$ �򤫤�, Ϣ³�μ����Ѥ����ѷ����뤳�Ȥ�������
    \footnote{
        Ƴ�Фβ����򼨤�. ������1�����2��ϼ��Τ褦���ѷ������. 
            \begin{align}
              v_i \DP{}{t} ( \rho v_i ) 
                     + v_i \DP{}{x_j} ( \rho v_j v_i )
              & =   \DP{}{t} ( \rho v_i^2 ) 
                     + \DP{}{x_j} ( \rho v_j v_i^2 )
                     - \rho \DP{}{t} \left( \frac{1}{2}  v_i^2 \right) 
                     - \rho v_j \DP{}{x_j} \left( \frac{1}{2} v_i^2 \right)
                      \nonumber \\
              & =   \DP{}{t} ( \rho v_i^2 )
                     + \DP{}{x_j} ( \rho v_j v_i^2 )  
                     - \DP{}{t} \left( \frac{1}{2}  \rho v_i^2 \right)  
                     - \DP{}{x_j} \left( \frac{1}{2} v_i^2 \rho v_j \right)
                       \nonumber \\ 
              & \quad
                     + \frac{1}{2} v_i^2 \DP{\rho}{t}
                     + \frac{1}{2} v_i^2 \DP{}{x_j} ( \rho v_j )  \nonumber \\
              & =   \DP{}{t} \left( \frac{1}{2} \rho v_i^2 \right)  
                     + \DP{}{x_j} ( \frac{1}{2} \rho v_j v_i^2 )
                     + \frac{1}{2} v_i^2  
                       \left\{ \DP{\rho}{t} + \DP{}{x_j} ( \rho v_j ) \right\}
                      \nonumber  \\
              & =   \DP{}{t} \left( \frac{1}{2} \rho v_i^2 \right)
                     + \DP{}{x_j} ( \frac{1}{2} \rho v_j v_i^2 ).  \nonumber 
            \end{align}
        �ޤ�, ������5��ϼ��Τ褦���ѷ������.
	�ѷ��κݤˤ� $\DP{\Phi^*}{t}=0$ �Ǥ���Ȥ��Ƥ���. 
            \begin{align}
              v_i \rho \DP{\Phi^*}{x_i} 
               & = \Phi^* \left\{ \DP{\rho}{t} + \DP{}{x_i}(\rho v_i) \right\} 
                      + \rho \DP{\Phi^*}{t}
                      + v_i \rho \DP{\Phi^*}{x_i} \nonumber \\
               & = \DP{}{t} ( \rho \Phi^* )
                      + \DP{}{x_i} ( \rho \Phi^* v_i ). \nonumber 
            \end{align}
    }.
    \begin{align}
       \Deqlab{��ư�ȥݥƥ󥷥�륨�ͥ륮���ե�å���}
          \DP{}{t} \left( \frac{1}{2} \rho v_i^2 + \rho \Phi^* \right) 
        + \DP{}{x_j} \left( \frac{1}{2} \rho v_j \Dvect{v}^2
                            + \rho \Phi^* v_j
                            + p v_j - \sigma_{ij} v_i \right)
     =  p \DP{v_j}{x_j} - \sigma_{ij} \DP{v_i}{x_j} + {\cal F}_i^{\prime} v_i .
    \end{align}
������, �ѷ��κݤˤ� $\DP{\Phi^*}{t}=0$ �Ǥ���Ȥ��Ƥ���. 
\Deqref{�����ͥ륮���ե�å���}��
\Deqref{��ư�ȥݥƥ󥷥�륨�ͥ륮���ե�å���}
�Ȥκ���Ȥ��, ���Τ褦���������ͥ륮���μ���������.
    \begin{align}
       \DP{}{t} ( \rho \varepsilon )
         + \DP{}{x_j} ( \rho \varepsilon v_j )
       =  - p \DP{v_j}{x_j} + \sigma_{ij} \DP{v_i}{x_j}
         + \rho Q .
    \end{align}
Ϣ³�μ����Ѥ��ƥ饰��󥸥�����˽�ľ����
    \begin{align}
     \Deqlab{�������ͥ륮��}
       \rho \DD{\varepsilon}{t} 
      =   \frac{p}{\rho} \left( \DD{\rho}{t} \right)
        + \rho Q.
    \end{align}
�ʹߤǤ�, ��������β�Ǯ�ι��Ǵ���ˤ���Ǯ�ι��
�ޤȤ�� $Q^*$ �Ȥ������ȤȤ���.

�������ͥ륮�����٤��Ѥ���ɽ������� $\varepsilon = C_v T$ �Ǥ���.
$C_v$���갵��Ǯ�Ǥ���. 
����˾��������� \Deqref{����������} ���Ѥ���\Deqref{�������ͥ륮��}
���ѷ�����. $C_p = C_v + R$ �Ǥ��뤳�Ȥ����դ����
    \begin{align}
        \DD{C_p  T}{t} = \frac{1}{\rho} \DD{p}{t} + Q^*,
    \end{align}
�Ȥʤ�. ������, $C_p$ ����������갵��Ǯ $C_p^d$ 
�Ƕ�������
    \footnote{
        ���ζ���ˤϵ��䤬�Ĥ�. �����������ˤ����Ƥ�, 
	������� $R$ �� $R^d$ �Ȥ�������
	(������ $T_v$ ��Ƴ�����뤳�Ȥ�)�Ԥʤ�ʤ��ä�. 
	$C_p$ �ˤĤ��Ƥ����������Τ϶���Υ�٥��
	��������ʤ��褦�˻פ���. 
	
        �ʲ��Ϥ��μ�ĥ. ������ $r=\rho^v/\rho^d$ ���Ѥ��Ƥ���. ���絤������
        ���ͥ륮���� 
        \begin{align*}
          \rho \varepsilon 
         & = \rho^d \varepsilon^d + \rho^v \varepsilon^v  \\
         & = \rho^d C_v^d T + \rho^v C_v^v T  \\
         & = \rho \left( \frac{ \rho^d C_v^d
             + \rho^v C_v^v}{\rho} \right) T  \\
         & = \rho \left( \frac{ C_v^d + r C_v^v }{ 1+r } \right) T,  
        \end{align*}
        �Ȥʤ�. �������ä�, 
        \[
          C_v \equiv \frac{ C_v^d + r C_v^v }{ 1+r },
        \]
        �Ǥ���. �ޤ�, 
        \[
          R \equiv \frac{R^d + r R^v}{1+r}
            \left( = R^d \frac{ 1 + r/\epsilon}{1+r} \right) ,
        \]
        �Ǥ��뤫��, 
        \begin{align*}
         C_p & = C_v + R  \\
             & = \frac{ C_v^d  + r C_v^v + R^d + r R^v }{1+r}  \\
             & = \frac{ C_p^d + r C_p^v}{1+r}  \\
             & = C_p^d \frac{ 1+rC_p^v/C_p^d}{1+r}  \\
             & \sim C_p^d \frac{ 1+ 8 r/7 \epsilon}{1+r}, 
        \end{align*}
        �Ȥʤ�. ������, $C_p^d = ( C_v^d+R^d ) \sim ( \frac{5}{2}R^d +R^d ) =
        \frac{7}{2} R^d $,  ����� $C_p^v = ( C_v^v + R^v ) \sim ( 3R^v + R^v
        ) = 4 R^v$ ���Ѥ���. Ǯ�ϳؤμ��Ǥ�, ���ξ������Ф���, $C_p \sim
        C_p^d$ �ȶ������. ������, ���ϳ�ʿ�դμ��Ǥ�, ���ä� $8/7$ �ΰ㤤�ʤ�
        �� $R$ �� $R^d$ �˶������, �����٤�Ƴ���ˤ�긷̩��
	��갷�����Ȥ��Ƥ���. 
    }, 
����Ǯ�ϳؤμ�������. 
\begin{align}
 \DD{T}{t}  =  \frac{1}{C_p^d \rho} \DD{p}{t} + \frac{Q^*}{C_p^d}.
\end{align}
