ここでは 4 次精度中心差分による打ち切り誤差の大きさを求める.
f(x+Δx), f(x-Δx) をテーラー展開すると
f(x+Δx) = f(x) + f'(x) + (1/2) f"(x) (Δx)^2
+ (1/3!) f(3)(x) (Δx)^3 + (1/4!) f(4)(x) (Δx)^4 + (1/5!) f(5)(x) (Δx)^5 + o(Δx^6) ,
f(x-Δx) = f(x) - f'(x) + (1/2) f"(x) (Δx)^2
- (1/3!) f(3)(x) (Δx)^3 + (1/4!) f(4)(x) (Δx)^4 - (1/5!) f(5)(x) (Δx)^5 + o(Δx^6) .
辺々引くと
f(x+Δx) - f(x-Δx) = 2 f'(x) Δx + (2/3!) f(3)(x) (Δx)^3 + (2/5!) f(5)(x) (Δx)^5 + o(Δx^7) .
f(x+Δx), f(x-Δx) についても同様にテーラー展開して辺々引くと
f(x+2Δx) - f(x-2Δx) = 4 f'(x) Δx + (16/3!) f(3)(x) (Δx)^3 + (64/5!) f(5)(x) (Δx)^5 + o(Δx^7) .
2式から (Δx)^3 の項を消去すると
f'(x) = (2/3){f(x+Δx)-f(x-Δx)}/Δx - (1/12){f(x+2Δx)-f(x-2Δx)}/Δx + (1/30)f(5)(Δx)^4 + o(Δx^6) .
右辺第 1 項および第 2 項が 4 次精度中心差分の式である. 従って, 右辺第 3 項以降が 4 次精度中心差分の誤差を表す. Δx について最も低次な項で誤差の大きさを見積もると
(1/30)f(5)(Δx)^4
となる.