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3. 時間方向の離散化

3.1 運動方程式と圧力方程式

空間離散化された運動方程式(2.28), (2.29)と圧力方程式 (2.30)を時間方向に離散化する. 音波に関連する項は短いタイムステップ $\Delta \tau$ で離散化し, その他 の項は長いタイムステップ $\Delta t$ で離散化する. 音波に関連する項の離 散化には HE-VI 法を採用し, $u$ の式は前進差分, $w, \pi$ の式は後退差分 (クランク・ニコルソン法)で離散化する. その他の項の離散化にはリープフロッ グ法を用いる. 離散化した式の計算はまず $u$ の式から行う. 得られた $\tau +\Delta \tau$$u$ を用いて $\pi$ を計算し, $u, \pi$ を用いて $w$ を計算する.

解く方程式を以下のように書き直す.

    $\displaystyle \DP{u_{i(u),k}}{t} = - \left[\bar{c_{p}} \bar{\theta}_{v}
\DP{(\pi - \alpha Div )}{x}\right]_{i(u),k} +
F_{u,i(u),k},$ (3.1)
    $\displaystyle \DP{w_{i,k(w)}}{t} = - \left[\bar{c_{p}} \bar{\theta}_{v}
\DP{(\pi - \alpha Div )}{z}\right]_{i,k(w)} +
F_{w,i,k(w)},$ (3.2)
    $\displaystyle \DP{\pi_{i,k}}{t}
+ \left[\frac{\bar{c}^{2}}{\bar{c_{p}} \bar{\rh...
... \left[\frac{\bar{c}^{2}}{\bar{c_{p}} \bar{\theta}_{v}} \DP{u}{x}\right]_{i,k}.$ (3.3)

ただし $u, w$ の式には音波減衰項(Skamarock and Klemp, 1992)を加えてある. ここで $F_{u}, F_{w}$ は音波に関連しない項,

$\displaystyle F_{u,i(u),k}^{t}$ $\textstyle =$ $\displaystyle - \left[Adv_{u}\right]_{i(u),k}^{t}
+ \left[D_{u}\right]_{i(u),k}^{t - \Delta t}$ (3.4)
$\displaystyle F_{w,i,k(w)}^{t}$ $\textstyle =$ $\displaystyle - \left[Adv_{w}\right]_{i(u),k}^{t}
+ g\frac{\theta_{i,k(w)}^{t}}{\overline{\theta}_{i,k(w)}}
+ \left[D_{w}\right]_{i,k(w)}^{t - \Delta t}.$ (3.5)

であり, 時刻 $t$ で評価する.

3.1.1 水平方向の運動方程式

(3.1)を時間方向に離散化すると以下のようになる.

$\displaystyle u^{\tau + \Delta \tau}_{i(u),k}
= u^{\tau}_{i(u), k}
- \left[
\ba...
...\alpha Div)^{\tau}}{x}
\right\}
\right]_{i(u),k}
+
F_{u,i(u),k}^{t} \Delta \tau$     (3.6)

3.1.2 鉛直方向の運動方程式と圧力方程式

HE-VI 法を用いるので, $w$$\pi$ の式を連立して解く. $w$ の式におい て音波減衰項は前進差分, 圧力項は後退差分で離散化する. $\pi$ の式にお いて水平微分項は(3.6)で求めた $u^{\tau +\Delta \tau}$ を用いて離散化し, 鉛直微分項は後退差分で離散化する.

$\displaystyle w^{\tau + \Delta \tau}
= w^{\tau}
- \bar{c_{p}} \bar{\theta}_{v} ...
...{\pi^{\tau}}{z}
- \DP{(\alpha Div)^{\tau}}{z}
\right\}
+ F_{w}^{t} \Delta \tau.$     (3.7)


$\displaystyle \pi^{\tau + \Delta \tau}
+ \beta \frac{\bar{c}^{2}\Delta \tau}{\b...
...^{2} \Delta \tau}{\bar{c_{p}} \bar{\theta}_{v}} \DP{u^{\tau + \Delta \tau}}{x}.$      

ここでは簡単のため格子点位置を表す添字は省略した. (3.8) 式に (3.7) を代入して $w^{\tau +
\Delta \tau}$ を消去する.
$\displaystyle \pi^{\tau + \Delta \tau}$ $\textstyle -$ $\displaystyle \beta^{2}
\frac{\bar{c}^{2}{\Delta \tau}^{2}}{\bar{c_{p}} \bar{\r...
...\theta}_{v}^{2}\right)
\left(
\DP{\pi^{\tau + \Delta \tau}}{z}
\right)
\right\}$  
  $\textstyle =$ $\displaystyle \pi^{\tau}
-(1 - \beta)
\frac{\bar{c}^{2}\Delta \tau}{\bar{c_{p}}...
...}^{2} \Delta \tau}{\bar{c_{p}} \bar{\theta}_{v}}
\DP{u^{\tau + \Delta \tau}}{x}$  
    $\displaystyle - \beta \frac{\bar{c}^{2}\Delta \tau}{\bar{c_{p}} \bar{\rho} \bar...
... \DP{(\alpha Div)^{\tau}}{z}
\right\}
+ F_{w}^{t} \Delta \tau
\right\}
\right].$  

(3.9) 式右辺を空間方向に離散化し, 格子点位置を表す添字を付けて表すと以下のようになる (計算の詳細は 第A章 参照).
    $\displaystyle \left\{
- \beta^{2}
\left(
\frac{\bar{c}^{2}{\Delta \tau}^{2}}{\b...
...} \bar{\theta}_{v}^{2}
\right)_{k(w)}
\right\}
\pi^{\tau + \Delta \tau}_{i,k+1}$  
    $\displaystyle \hspace{10mm}+ \left[
1 + \beta^{2}
\left(
\frac{\bar{c}^{2}{\Del...
...theta}_{v}^{2}
\right)_{k-1(w)}
\right\}
\right]
\pi^{\tau + \Delta \tau}_{i,k}$  
    $\displaystyle \hspace{10mm}+ \left\{
- \beta^{2}
\left(
\frac{\bar{c}^{2}{\Delt...
...\bar{\theta}_{v}^{2}
\right)_{k-1(w)}
\right\}
\pi^{\tau + \Delta \tau}_{i,k-1}$  
    $\displaystyle =
\pi^{\tau}_{i,k}
- (1 - \beta)
\left(
\frac{\bar{c}^{2}\Delta \...
...ar{\theta}_{v}}
\right)_{k}
\left(
\DP{u^{\tau + \Delta \tau}}{x}
\right)_{i,k}$  
    $\displaystyle \hspace{2mm} - \beta
\left(
\frac{\bar{c}^{2}\Delta \tau}{\bar{c_...
...ho} \bar{\theta}_{v} \right)_{i,k(w)}
\left\{
w^{\tau}_{i,k(w)}
\right. \right.$  
    $\displaystyle \hspace{10mm}
\left. \left.
- \left( \bar{c_{p}} \bar{\theta}_{v}...
...i,k(w)}
+ \left( F_{w}^{t} \right)_{i,k(w)} \Delta \tau
\right\}
\right]_{i,k}.$  

但し平均場の量は鉛直方向にしか依存しないので $z$ 方向の添字のみ 付けてある.

3.1.2.1 境界条件

上下境界を固定壁とする場合, 境界条件は上部下部境界で,

    $\displaystyle w(i,0(w)) = 0,$ (3.8)
    $\displaystyle w(i,km(w)) = 0$ (3.9)

である.

下部境界:

下部境界($k(w) = 0(w)$)について考える. この時 (3.7) 式に 添字を付けて書き下すと,

$\displaystyle \beta \left(
\DP{\pi^{\tau + \Delta \tau}}{z}
\right)_{i,0(w)}$ $\textstyle =$ $\displaystyle \left( \DP{(\alpha Div)^{\tau}}{z} \right)_{i,0(w)}
- (1 - \beta)...
..._{i,0(w)}
+ \left(\Dinv{\bar{c_{p}} \bar{\theta}_{v}} F_{w}^{t}\right)_{i,0(w)}$  
  $\textstyle \equiv$ $\displaystyle E_{i,0(w)}$ (3.10)

となる. したがって (3.10) 式は以下のようになる.
    $\displaystyle \left\{
- \beta^{2}
\left(
\frac{\bar{c}^{2}{\Delta \tau}^{2}}{\b...
...ho} \bar{\theta}_{v}^{2}
\right)_{1(w)}
\right\} \pi^{\tau + \Delta \tau}_{i,1}$  
  $\textstyle =$ $\displaystyle \pi^{\tau}_{i,1}
-(1 - \beta)
\left(
\frac{\bar{c}^{2}\Delta \tau...
...ar{\theta}_{v}}
\right)_{1}
\left(
\DP{u^{\tau + \Delta \tau}}{x}
\right)_{i,1}$  
    $\displaystyle - \beta
\left(
\frac{\bar{c}^{2}\Delta \tau}{\bar{c_{p}} \bar{\rh...
...(\alpha Div)^{\tau}}{z}
\right\}
+ F_{w}^{t} \Delta \tau
\right\}
\right]_{i,1}$  
    $\displaystyle - \beta
\left(
\frac{\bar{c}^{2}{\Delta \tau}^{2}}{\bar{c_{p}} \b...
...\left(
\bar{c_{p}} \bar{\rho} \bar{\theta}_{v}^{2}
\right)_{i,0(w)}
E_{i,0(w)}.$ (3.11)

上部境界:

上部境界($k(w) = km(w)$)について考える. この時 (3.7) 式 を添字を付けて書き下すと,

$\displaystyle \beta \left(
\DP{\pi^{\tau + \Delta \tau}}{z}
\right)_{i,km(w)}$ $\textstyle =$ $\displaystyle \left( \DP{(\alpha Div)^{\tau}}{z} \right)_{i,km(w)}
- (1 - \beta...
...i,km(w)}
+ \left(\Dinv{\bar{c_{p}} \bar{\theta}_{v}} F_{w}^{t}\right)_{i,km(w)}$  
  $\textstyle \equiv$ $\displaystyle E_{i,km(w)}$ (3.12)

となる. したがって (3.10) 式は以下のようになる.
    $\displaystyle \left\{
1 +
\beta^{2}
\left(
\frac{\bar{c}^{2}{\Delta \tau}^{2}}{...
...\bar{\theta}_{v}^{2}
\right)_{km-1(w)}
\right\}
\pi^{\tau + \Delta \tau}_{i,km}$  
    $\displaystyle + \left\{
- \beta^{2}
\left(
\frac{\bar{c}^{2}{\Delta \tau}^{2}}{...
...ar{\theta}_{v}^{2}
\right)_{km-1(w)}
\right\}
\pi^{\tau + \Delta \tau}_{i,km-1}$  
  $\textstyle =$ $\displaystyle \pi^{\tau}_{i,km}
-(1 - \beta)
\left(
\frac{\bar{c}^{2}\Delta \ta...
...{\theta}_{v}}
\right)_{km}
\left(
\DP{u^{\tau + \Delta \tau}}{x}
\right)_{i,km}$  
    $\displaystyle - \beta
\left(
\frac{\bar{c}^{2}\Delta \tau}{\bar{c_{p}} \bar{\rh...
...\alpha Div)^{\tau}}{z}
\right\}
+ F_{w}^{t} \Delta \tau
\right\}
\right]_{i,km}$  
    $\displaystyle + \frac{\beta}{\Delta z}
\left(
\frac{\bar{c}^{2}{\Delta \tau}^{2...
...\left(
\bar{c_{p}} \bar{\rho} \bar{\theta}_{v}^{2}
\right)_{km(w)}
E_{i,km(w)}.$ (3.13)

3.1.2.2 圧力方程式の解き方

(3.10), (3.14), (3.16) 式を連立すると, 以下のような行列式の形式で書く ことができる.

$\displaystyle \left(\begin{array}{cccc}
A_{1} & B_{2} & & 0 \\
C_{1} & \ddots ...
...m} & \cdots & \cdots & \pi_{im, km} \\
\end{array}\right)^{\tau + \Delta \tau}$      
$\displaystyle =
\left(\begin{array}{cccc}
D_{1,1} & D_{2,1} & \cdots & D_{im,1}...
...dots \\
D_{1,km} & \cdots & \cdots & D_{im,km} \\
\end{array}\right)^{\tau}
.$     (3.14)

この連立方程式を解くことで $\pi_{i, k}$ を求める. この連立方程式の係数は以下の ように書ける.
$\displaystyle A_{k}$ $\textstyle =$ $\displaystyle 1 + \beta^{2}
\left(
\frac{\bar{c}^{2}{\Delta \tau}^{2}}{\bar{c_{...
...
+
\left(
\bar{c_{p}} \bar{\rho} \bar{\theta}_{v}^{2}
\right)_{k-1(w)}
\right\}$  
    $\displaystyle (k = 2, 3, \cdots km-1),$  
$\displaystyle A_{1}$ $\textstyle =$ $\displaystyle 1 + \beta^{2}
\left(
\frac{\bar{c}^{2}{\Delta \tau}^{2}}{\bar{c_{...
...Delta z^{2}}
\left(
\bar{c_{p}} \bar{\rho} \bar{\theta}_{v}^{2}
\right)_{1(w)},$  
$\displaystyle A_{km}$ $\textstyle =$ $\displaystyle 1 + \beta^{2}
\left(
\frac{\bar{c}^{2}{\Delta \tau}^{2}}{\bar{c_{...
...ta z^{2}}
\left(
\bar{c_{p}} \bar{\rho} \bar{\theta}_{v}^{2}
\right)_{km-1(w)},$  
$\displaystyle B_{k}$ $\textstyle =$ $\displaystyle - \beta^{2}
\left(
\frac{\bar{c}^{2}{\Delta \tau}^{2}}{\bar{c_{p}...
...lta z^{2}}
\left(
\bar{c_{p}} \bar{\rho} \bar{\theta}_{v}^{2}
\right)_{k-1(w)},$  
$\displaystyle C_{k}$ $\textstyle =$ $\displaystyle - \beta^{2}
\left(
\frac{\bar{c}^{2}{\Delta \tau}^{2}}{\bar{c_{p}...
...Delta z^{2}}
\left(
\bar{c_{p}} \bar{\rho} \bar{\theta}_{v}^{2}
\right)_{k(w)},$  
$\displaystyle D_{i,k}$ $\textstyle =$ $\displaystyle \pi^{\tau}_{i,k}
-(1 - \beta)
\left(
\frac{\bar{c}^{2}\Delta \tau...
..._{v}}
\right)_{k}
\left(
\DP{u^{\tau + \Delta \tau}}{x}
\right)_{i,k}
- F_{i,k}$  
    $\displaystyle (k = 2, 3, \cdots km-1),$  
$\displaystyle D_{i,1}$ $\textstyle =$ $\displaystyle \pi^{\tau}_{i,1}
-(1 - \beta)
\left(
\frac{\bar{c}^{2}\Delta \tau...
..._{v}}
\right)_{1}
\left(
\DP{u^{\tau + \Delta \tau}}{x}
\right)_{i,1} - F_{i,k}$  
    $\displaystyle - \beta
\left(
\frac{\bar{c}^{2}{\Delta \tau}^{2}}{\bar{c_{p}} \b...
...\left(
\bar{c_{p}} \bar{\rho} \bar{\theta}_{v}^{2}
\right)_{i,0(w)}
E_{i,0(w)},$  
$\displaystyle D_{i,km}$ $\textstyle =$ $\displaystyle \pi^{\tau}_{i,km}
-(1 - \beta)
\left(
\frac{\bar{c}^{2}\Delta \ta...
...{v}}
\right)_{km}
\left(
\DP{u^{\tau + \Delta \tau}}{x}
\right)_{i,km} -F_{i,k}$  
    $\displaystyle + \beta
\left(
\frac{\bar{c}^{2}{\Delta \tau}^{2}}{\bar{c_{p}} \b...
...\left(
\bar{c_{p}} \bar{\rho} \bar{\theta}_{v}^{2}
\right)_{km(w)}
E_{i,km(w)}.$  

ただし,
$\displaystyle E_{i,k(w)} \equiv
\left( \DP{(\alpha Div)^{\tau}}{z} \right)_{i,k...
..._{i,k(w)}
+ \left(\Dinv{\bar{c_{p}} \bar{\theta}_{v}} F_{w}^{t}\right)_{i,k(w)}$      


$\displaystyle F_{i,k}$ $\textstyle \equiv$ $\displaystyle \hspace{2mm} - \beta
\left(
\frac{\bar{c}^{2}\Delta \tau}{\bar{c_...
...ho} \bar{\theta}_{v} \right)_{i,k(w)}
\left\{
w^{\tau}_{i,k(w)}
\right. \right.$  
    $\displaystyle \hspace{10mm}
\left. \left.
- \left( \bar{c_{p}} \bar{\theta}_{v}...
...i,k(w)}
+ \left( F_{w}^{t} \right)_{i,k(w)} \Delta \tau
\right\}
\right]_{i,k}.$  

である.

3.1.3 運動方程式の外力項

運動方程式の外力項 (3.1), (3.2) 式を 離散化する.

$\displaystyle F_{u,i(u),k}^{t}$ $\textstyle =$ $\displaystyle - \left[ {\rm Adv}.u \right]_{i(u),k}^{t} +
\left[{\rm D}_{u} + {\rm Diff}.u \right]_{i(u),k}^{t-\Delta t},$ (3.15)
$\displaystyle F_{w,i,k(w)}$ $\textstyle =$ $\displaystyle - \left[ {\rm Adv}.w \right]_{i(u),k}^{t}
+ \left[ {\rm Buoy} \ri...
... k(w)}^{t}
+ \left[ {\rm D}_{w} + {\rm Diff}.w \right]_{i,k(w)}^{t - \Delta t}.$ (3.16)

ここで, Adv は移流項, D は粘性拡散項, Buoy は浮力項である. 中心差分でリープフロッグ法を用いるために, 数値粘性項 Diff を追加してある. それぞれの項を書き下すと,
$\displaystyle \left[ {\rm Adv}_{u} \right]_{i(u),k}^{t}$ $\textstyle =$ $\displaystyle - u_{i(u),k}^{t} \left[\DP{u}{x}\right]_{i(u),k}^{t}
- w_{i(u),k}^{t} \left[\DP{u}{z}\right]_{i(u),k}^{t}$ (3.17)
$\displaystyle \left[ {\rm Adv}_{w} \right]_{i,k(w)}^{t}$ $\textstyle =$ $\displaystyle - u_{i,k(w)}\left[\DP{w}{x}\right]_{i,k(w)}^{t}
- w_{i,k(w)}\left[\DP{w}{z}\right]_{i,k(w)}^{t}$ (3.18)

であり, 浮力項は,
$\displaystyle [{\rm Buoy}]^{t}_{i,k(w)}
= g \left[ \frac{\theta}{\overline{\theta}} \right]_{i,k(w)}^{t}$     (3.19)

であり, 粘性拡散項は,
$\displaystyle \left[ {\rm D}_{u} \right]_{i(u),k}^{t - \Delta t}$ $\textstyle =$ $\displaystyle 2 \left[
\DP{}{x}\left\{
\left( K_{m} \right)_{i,k} \left( \DP{u}{x} \right)_{i,k}
\right\}
\right]_{i(u),k}^{t - \Delta t}$  
    $\displaystyle +\left[ \DP{}{z}\left\{
\left( K_{m} \right)_{i(u),k(w)}
\left( \...
...}
\left( \DP{u}{z} \right)_{i(u),k(w)}
\right\} \right]_{i(u),k}^{t - \Delta t}$  
    $\displaystyle - \frac{2}{3 C_{m}^{2} l^{2}}
\left( \DP{ K_{m}^{2} }{x} \right)_{i(u),k}^{t - \Delta t}$ (3.20)
$\displaystyle \left[ {\rm D}_{w} \right]_{i,k(w)}^{t - \Delta t}$ $\textstyle =$ $\displaystyle 2 \left[
\DP{}{z}\left\{
\left( K_{m} \right)_{i,k} \left( \DP{w}{z} \right)_{i,k}
\right\}
\right]_{i,k(w)}^{t - \Delta t}$  
    $\displaystyle +\left[ \DP{}{x}\left\{
\left( K_{m} \right)_{i(u),k(w)}
\left( \...
...}
\left( \DP{u}{z} \right)_{i(u),k(w)}
\right\} \right]_{i,k(w)}^{t - \Delta t}$  
    $\displaystyle - \frac{2}{3 C_{m}^{2} l^{2}}
\left( \DP{ K_{m}^{2} }{z} \right)_{i,k(w)}^{t - \Delta t}$ (3.21)

である. 数値粘性項は,
$\displaystyle \left[ {\rm Diff}.u \right]_{i(u),k}^{t - \Delta t}$ $\textstyle =$ $\displaystyle \nu_{h} \left\{ \DP{}{x} \left(\DP{u}{x}\right)_{i,k} \right\}_{i...
...\{ \DP{}{z} \left(\DP{u}{z}\right)_{i(u),k(w)} \right\}_{i(u),k}^{t - \Delta t}$ (3.22)
$\displaystyle \left[ {\rm Diff}.w \right]_{i,k(w)}^{t - \Delta t}$ $\textstyle =$ $\displaystyle \nu_{h} \left\{ \DP{}{x} \left(\DP{w}{x}\right)_{i(u),k(w)} \righ...
... \left\{ \DP{}{z} \left(\DP{w}{z}\right)_{i,k} \right\}_{i,k(w)}^{t - \Delta t}$ (3.23)

である. $K_{m}$ は乱流エネルギーの時間発展方程式から計算し(詳細は後述), $\nu_{h}, \nu_{v}$ は以下のように定める.
$\displaystyle \nu_{h} = \frac{\alpha_{h} \Delta x^{2}}{\Delta t}$     (3.24)
$\displaystyle \nu_{v} = \frac{\alpha_{v} \Delta z^{2}}{\Delta t}$     (3.25)

ここで $\Delta x, \Delta z$ は水平・鉛直方向の格子間隔を意味し, $\alpha_{h}, \alpha_{v}$ はそれぞれ,
$\displaystyle \alpha_{h} \le \Dinv{8}, \hspace{3em}
\alpha_{v} \le \Dinv{8}$     (3.26)

とする.

3.2 熱力学の式

熱力学の式を書き下すと以下のようになる.

$\displaystyle \DP{\theta}{t} = F_\theta$     (3.27)

(3.30) 式を時間方向にリープフロッグ法を用いて離散化する.
$\displaystyle \theta_{i,k}^{t} = \theta_{i,k}^{t - \Delta t} + 2 F_\theta \Delta t$     (3.28)

ここで,
$\displaystyle F_{\theta,i,k}^{t}$ $\textstyle =$ $\displaystyle - \left[{\rm Adv}_{\theta}\right]_{i,k}^{t}
- \left[{\rm Src}_{\t...
...i,k}^{t}
+ \left[D_{\theta} + {\rm Diff}_{\theta} \right]_{i,k}^{t - \Delta t}.$ (3.29)

である. 移流を中心差分で安定して解くために, 数値粘性項 Diff を追加してあ る.

(3.32) 式を書き下す. 移流項は,

$\displaystyle \left[{\rm Adv}_{\theta}\right]_{i,k}^{t}$ $\textstyle =$ $\displaystyle \left\{
u_{i(u),k} \left( \DP{\theta}{x} \right)_{i(u),k}
\right\...
...
+
\left\{
w_{i,k(w)} \left( \DP{\theta}{z} \right)_{i,k(w)}
\right\}_{i,k}^{t}$ (3.30)

であり, 生成項は,
$\displaystyle \left[{\rm Src}_{\theta}\right]_{i,k}^{t} =
\left\{
w_{i,k(w)} \left( \DP{\overline{\theta}}{z} \right)_{i,k(w)}
\right\}_{i,k}^{t}$     (3.31)

であり, 粘性拡散項は,
$\displaystyle \left[D_{\theta} \right]_{i,k}^{t - \Delta t}$ $\textstyle =$ $\displaystyle \left[ \DP{}{x}
\left\{
\left( K_{h} \right)_{i(u),k}
\left( \DP{\theta}{x} \right)_{i(u),k}
\right\}
\right]_{i,k}^{t - \Delta t}$  
    $\displaystyle + \left[ \DP{}{z}\left\{
\left( K_{h} \right)_{i,k(w)}
\left( \DP{\theta}{z} \right)_{i,k(w)}
\right\} \right]_{i,k}^{t - \Delta t}$ (3.32)

である. 数値粘性項は,
$\displaystyle \left[ {\rm Diff}_{\theta} \right]_{i,k}^{t - \Delta t}$ $\textstyle =$ $\displaystyle \nu_{h} \left\{ \DP{}{x} \left(\DP{\theta}{x}\right)_{i(u),k} \ri...
...t\{ \DP{}{z} \left(\DP{\theta}{z}\right)_{i,k(w)} \right\}_{i,k}^{t - \Delta t}$ (3.33)

である. $K_{h}$ は乱流エネルギーの時間発展方程式から計算する(詳細は後述). $\nu_{h}, \nu_{v}$ は (3.29) 式を利用する.

3.3 乱流運動エネルギーの式

Klemp and Wilhelmson (1978) および CReSS (坪木と榊原篤志, 2001) と同様 に, 1.5 次のクロージャーを用いることで, 乱流エネルギーの時間発展方程式 は以下ように書ける.

$\displaystyle \DP{K_{m}}{t}$ $\textstyle =$ $\displaystyle - \left(
u \DP{K_{m}}{x} + w \DP{K_{m}}{z}
\right)
- \frac{3 g C_{m}^{2} l^{2}}{ 2 \overline{\theta}}
\left(\DP{\theta}{z} \right)$  
    $\displaystyle + \left( C_{m}^{2} l^{2} \right) \left\{
\left( \DP{u}{x} \right)^{2}
+ \left( \DP{w}{z} \right)^{2}
\right\}$  
    $\displaystyle + \frac{ C_{m}^{2} l^{2} }{2}
\left( \DP{u}{z} + \DP{w}{x}\right)^{2}
- \frac{K_{m}}{3}
\left( \DP{u}{x} + \DP{w}{z} \right)$  
    $\displaystyle + \Dinv{2}
\left(\DP[2]{K_{m}^{2}}{x}
+ \DP[2]{K_{m}^{2}}{z}
\right)
+ \left(\DP{K_{m}}{x}\right)^{2}
+ \left(\DP{K_{m}}{z}\right)^{2}$  
    $\displaystyle - \Dinv{2 l^{2}} K_{m}^{2}$ (3.34)

ここで $C_{\varepsilon} = C_{m} = 0.2$, 混合距離 $l = \left(\Delta x \Delta z \right)^{1/2}$ とする.

(3.37) 式を離散化する. CReSS にならい, 移流項を $t$ で, 移流項以外を $t - \Delta t$ で評価する.

$\displaystyle \DP{K_{m}}{t}$ $\textstyle =$ $\displaystyle - \left\{
u_{i(u),k} \left( \DP{K_{m}}{x} \right)_{i(u), k}
\righ...
...
- \left\{
w_{i,k(w)} \left( \DP{K_{m}}{z} \right)_{i, k(w)}
\right\}_{i,u}^{t}$  
    $\displaystyle - \left\{
\frac{3 g C_{m}^{2} l^{2}}{ 2 \overline{\theta}}
\left(\DP{\theta}{z} \right)_{i,k(w)}
\right\}_{i,k}^{t-\Delta t}$  
    $\displaystyle + \left( C_{m}^{2} l^{2} \right)_{i,k}
\left[
\left\{
\left( \DP{...
...t\{
\left( \DP{w}{z} \right)^{2}
\right\}_{i,k(w)}
\right]_{i,k}^{t - \Delta t}$  
    $\displaystyle + \left( \frac{ C_{m}^{2} l^{2} }{2} \right)_{i,k}
\left[
\left\{...
...
\left( \DP{w}{x} \right)_{i(u),k(w)}
\right\}_{i,k}^{t - \Delta t}
\right]^{2}$  
    $\displaystyle - \left( \frac{K_{m}}{3} \right)_{i,k}^{t - \Delta t}
\left\{
\le...
...ight)_{i,k}^{t-\Delta t}
+
\left( \DP{w}{z} \right)_{i,k}^{t-\Delta t}
\right\}$  
    $\displaystyle + \Dinv{2}
\left\{
\left(
\DP[2]{K_{m}^{2}}{x}
\right)_{i,k}^{t-\Delta t}
+
\left(
\DP[2]{K_{m}^{2}}{z}
\right)_{i,k}^{t-\Delta t}
\right\}$  
    $\displaystyle +
\left[
\left\{
\left(\DP{K_{m}}{x}\right)^{2}
\right\}_{i(u),k}...
...{
\left(\DP{K_{m}}{z}\right)^{2}
\right\}_{i,k(w)}
\right]_{i,k}^{t - \Delta t}$  
    $\displaystyle - \Dinv{2 l^{2}} \left( K_{m}^{2} \right)_{i,k}^{t - \Delta t}$ (3.35)

3.4 時間フィルター

リープフロッグ法を用いたことによって生じる計算モードの増幅を抑制するた め, Asselin (1972) の時間フィルターを長い時間刻みで 1 ステップ計算する 毎に(実際には短い時間刻みの計算を $N_{\tau}\equiv 2\Delta t/\Delta
\tau$ ステップ計算する毎に)適用する.

たとえば(3.6)を用いて $ u^{t + \Delta t}_{i(u),k}$ を計算する場合, 以下のように時間フィルターを適用する.

$\displaystyle u^{*}_{i(u),k}$ $\textstyle =$ $\displaystyle u^{\tau + (N_{\tau}-1)\Delta \tau}_{i(u), k}
- \left[
\bar{c_{p}}...
...\DP{(\alpha Div)^{\tau + (N_{\tau}-1)\Delta \tau}}{x}
\right\}
\right]_{i(u),k}$  
    $\displaystyle +
F_{u,i(u),k}^{t} \Delta \tau,$  
$\displaystyle u^{t+\Delta t}_{i(u),k}$ $\textstyle =$ $\displaystyle (1-2 \gamma)u^{t}_{i(u),k} +
\gamma (u^{*}_{i(u),k} + u^{t -\Delta t}_{i(u),k})$ (3.36)

ここで $\gamma$ はフィルターの係数であり, その値は 0.05 を用い る. (3.7), (3.8)の計算に対しても同様 に時間フィルターを適用する.


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: 4. 参考文献 : 2 次元非静力学モデルの離散化 : 2. 空間方向の離散化
SUGIYAMA Ko-ichiro 平成17年4月23日