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B. 乱流パラメタリゼーション

1 乱流パラメタリゼーション

Klemp and Wilhelmson (1978) および CReSS で用いられている 1.5 次のクロー ジャーを用いる. このとき乱流運動エネルギーの時間発展方程式は,

288#288 11#11 289#289 (98)

と与えられる. 290#290 は混合距離で, 94#94 とする. 291#291292#292 はそれぞれ浮力と流れの変形速度によ る乱流エネルギー生成項, 293#293 は乱流エネルギー拡散項, 第 4 項は乱流 エネルギーの消散項であり,
294#294 11#11 295#295 (99)
296#296 11#11 297#297 (100)
298#298 11#11 299#299 (101)

である. 1.5 次のクロージャーでは, レイノルズ応力を以下のように定義する.
300#300 11#11 301#301 (102)
302#302 11#11 303#303 (103)

ここで 80#80 は運動量に対する渦粘性係数であり, 81#81 はサブグリッドス ケールの乱流運動エネルギー, 86#86 は渦拡散係数である. 80#80, 86#8681#81 を用いて以下のように与えられる.
304#304 11#11 305#305 (104)
306#306 11#11 307#307 (105)

パラメータ 308#308 はともに 0.2 である. a

1 乱流運動エネルギー方程式の導出

Klemp and Wilhelmson (1978) ではB:dEdtについて, 「Deardroff (1975), Mellor and Yamada (1974), Schemm and Lipps (1976) で用いられ ている式と類似のものである」とだけ記述され, その導出の詳細については解 説されていない. それゆえ大気大循環モデルでよく用いられている Mellor and Yamada (1974, 1982) のパラメタリゼーションとの対応が不明瞭であ る. そこで以下では Mellor and Yamada (1973, 1974) の定式化の手順に沿っ て式B:dEdt, レイノルズ応力1, レイノルズ応力 2 の導出を行う.

考えているサブグリッドスケール内において, 密度は一定, 動粘性係数や拡散 係数などの物理定数は一定とする. 出発点となる方程式は, Mellor and Yamada (1973) の式 (7) および (8)

309#309 310#310 311#311  
  310#310 312#312  
  11#11 313#313  
  310#310 314#314 (106)


315#315 310#310 316#316  
  11#11 317#317 (107)

および, MY1974:eq(7)において 318#318 とした式
319#319 11#11 320#320  
    321#321 (108)

ここで

322#322


で, 323#323 はそれぞれ動粘性係数, 拡散係数および熱膨 張率, 324#324 は重力加速度ベクトルの第 325#325 成分である.

MY1974:eq(7)およびMY1974:eq(8)に現れる圧力に関する相関項 および 3 次の相関量については以下の仮定をおく.

  1. 326#326 (圧力による運動エネルギーの再分配)


    327#327

    とおく. ここで 328#328 は乱流の特徴的なスケール, 329#329 は無次元の定数である.

  2. 330#330 (圧力による熱エネルギー再分配)

    1. の導出と同様の考察によって,

    331#331

    とおく. ここでの乱れのスケールは 332#332 とする.

  3. 333#333 (粘性による散逸)

    粘性に関与するような小スケールの現象は等方的とみて 334#334 のみ で表現する.

    335#335

    ここで 336#336 は粘性の及ぶ特徴的スケールである.

  4. 337#337


    338#338

    とおく.

  5. 339#339

    速度変動による 339#339 と考え次のようにおく.

    340#340


    ここで 341#341 はそれぞれの特徴的スケールである.

  6. 342#342 (圧力変動による拡散)


    343#343

    とする. この近似は Deardroff (1975), Schemm and Lipps (1976) でも行われている.

  7. 344#344 (コリオリ項)


    345#345


    346#346

    とする. この近似は Deardroff (1975), Schemm and Lipps (1976) でも行われている.

  8. 347#347


    338#338 (109)

    とする.

以上の近似をMY1974:eq(7), MY1974:eq(8), qの予報式 に対して行うと, 以下の式を得る.
348#348 349#349 350#350  
  11#11 351#351  
    352#352 (110)
353#353 349#349 354#354  
  11#11 355#355 (111)
356#356 310#310 357#357  
  11#11 358#358 (112)

ここで

359#359

である. これらは Mellor and Yamada (1974) の Level 4 モデルの式に対応 する式である.

式MY1974:Level4(1), MY1974:Level4(2), MY1974:Level4(3)に対し, さらに以下の近似を加える.

これらの近似を行うと, 式MY1974:Level4(1), MY1974:Level4(2), MY1974:Level4(3)は
362#362 11#11 363#363 (113)
364#364 11#11 365#365 (114)
356#356 11#11 366#366 (115)

となる. MY1974:Level1(1)は Mellor and Yamada (1974) の Level 1 モデルの 367#367 の式である. MY1974:Level1(2)は Mellor and Yamada (1974) の Level 1 モデル の 368#368 の式で 369#369 の項を無視したものに対応する. MY1974:Level3(1) は Mellor and Yamada (1974) の Level 3 モデ ルの 370#370 の式において, 3 次相関項を無視し粘性拡散項を残したものに 対応する.

371#371 とし, 334#33481#81 で表し動粘性係数を乱流拡散係数で置き換えると

362#362 11#11 372#372 (116)
364#364 11#11 373#373 (117)
288#288 11#11 374#374 (118)

となる. 理想気体の場合 375#375 であることに注意すると, 式 乱流エネルギーの式は散逸項の係数を除きB:dEdtに一致 する.

以上より, Klemp and Wilhelmson (1978) の乱流パラメタリゼーションは, Mellor and Yamada (1974) の Level 3 モデルと Level 1 モデルとを組みあ わせたものと理解することができる. Klemp and Wilhelmson (1978) と同様に 乱流運動エネルギーのみ予報し他の相関量は診断的に求めるモデルとして Mellor and Yamada (1974) の Level 2.5 モデルがある. しかし Level 2.5 モデルは Level 3 モデルと Level 2 モデルとの組合せであることに注意が必 要である.

2 2 次元の場合の表現

2 次元の場合のB:dEdt式の各項を書き下す. 浮力による乱流エネル ギー生成項は,

294#294 11#11 376#376  
  11#11 377#377  
  11#11 378#378 (119)

である. 次に流れの変形速度による乱流エネルギー生成項 292#292 は,
296#296 11#11 379#379  
  11#11 380#380  
  11#11 381#381  
  11#11 382#382  
    383#383  
  11#11 384#384  
    385#385  
  11#11 386#386  
    387#387 (120)

である. 乱流エネルギー拡散項 293#293 は,
298#298 11#11 388#388  
  11#11 389#389 (121)

である. 以上の B, S, De 式を B:dEdt 式 に代入することで以下の式を得る.
288#288 11#11 390#390  
    391#391  
    392#392 (122)

3 乱流拡散係数を用いた表現

B:TurbE 式を B:E 式を用いて 80#80 に関する式に変形 する. 右辺の乱流エネルギー拡散項を書き下すと,

393#393 310#310 394#394  
  11#11 395#395  
  11#11 396#396  
  11#11 397#397  

となるので, B:TurbE 式を変形すると,
398#398 11#11 399#399  
    400#400  
    401#401  
    402#402 (123)

係数を整理すると,
87#87 11#11 403#403  
    89#89  
    404#404  
    91#91  
    405#405  

となり, ここで 406#406 407#407 という 関係を用いると,
87#87 11#11 408#408  
    89#89  
    90#90  
    91#91  
    409#409 (124)

となる.

Yamashita Tatsuya 2012-09-11