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: 5 放射 : DCAPM4 第1部 数理モデル化 : 3 支配方程式・力学過程


4 積雲パラメタリゼーション

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\setcounter{footnote}{3}\fnsymbol{footnote} 33 3% latex2html id marker 8559
\setcounter{footnote}{3}\fnsymbol{footnote} 33

0.7 はじめに

大気大循環モデルにおいては 積雲を様に表現するだけの分解能を持たないので, 雲の発生する条件 並びに雲が大気大循環に与える影響については 何らかの方法で評価せざるを得ない. 雲が発生する条件および 雲が大気大循環に与える影響のうちの 熱・運動量輸送効果については4, 大規模場の速度や熱力学的諸量から評価することが多い. この評価方法は一般に積雲パラメタリゼーションと呼ばれ, 特に以下の型のものが良く用いられる.

また, そもそも大気が過飽和状態にあれば降水が起こる. これを大規模凝結という.



以下では各種パラメタリゼーション並びに大規模凝結について解説する.

6% latex2html id marker 8564
\setcounter{footnote}{6}\fnsymbol{footnote} 66

0.8 湿潤対流調節

0.8.1 はじめに

連続した 2 つのレベルの間の層において, 次の条件が 満たされる時調節を行う.

  1. 温度減率が湿潤断熱減率よりも大きい
  2. 飽和もしくは過飽和.

0.8.2 水蒸気が少ないという近似を行う場合

上記の条件 (1) に関して,

$\displaystyle \DD{s}{z} < 0$     (31)

の条件を, 「水蒸気が少ない」という近似をふんだんに 用いて書きかえると
$\displaystyle \DP{T}{z} - \frac{RT}{c_p p} \DP{p}{z} + \frac{L}{c_p} \DP{q^*}{z} < 0$     (32)

となる.

上記の条件 (2) に関しては, そのまま使う.

これらを用いて温度と比湿を調節するのが dcpam のデフォルトの 湿潤対流調節スキームである.

以下, スキームの定式化の説明を行う. (差分法と混ざった話になってしまっているので, あとでちゃんと整理が 必要だとおもう).

0.8.3 温度と比湿の調節量の計算方法

比湿と温度を, $(\hat{q}, \hat{T})$ から $(q, T)$ へ 調節するものとする.

条件式は以下の通りである.

$\displaystyle q_{k-1}$ $\textstyle =$ $\displaystyle q^* (T_{k-1}, p_{k-1}),$ (33)
$\displaystyle q_{k}$ $\textstyle =$ $\displaystyle q^{*} (T_{k}, p_{k})$ (34)


$\displaystyle T_{k-1} - T_{k}
+ \frac{L}{C_p}
\left\{ q^{*} (T_{k-1}, p_{k-1}) ...
...- \frac{R}{C_p} \frac{\Delta p_{k-1/2}}{p_{k-1/2}}
\frac{T_{k-1} + T_{k}}{2}
=0$     (35)


$\displaystyle (c_p T_{k} + L q_{k}) \Delta p_{k}
+ (c_p T_{k-1} + L q_{k-1}) \D...
...hat{q}_{k}) \Delta p_{k}
+ (c_p \hat{T}_{k-1} + L \hat{q}_{k-1}) \Delta p_{k-1}$     (36)

解は以下のようになる(で, 良いんだっけかな?)

0.8.4 水蒸気が少ないという近似をしない場合

$l$ が一定の場合,

$\displaystyle \DD{s}{t}$ $\textstyle =$ $\displaystyle - R_d \DD{}{t} (\ln p_d)
+ \left(1 + \frac{q}{1-q} \right) c_p
\DD{}{t} (\ln T)
+ l \DD{}{t} \frac{r}{T}$  
  $\textstyle =$ $\displaystyle - R_d \DD{}{t} \left\{ \ln (p (1-q)) \right\}
+ \frac{1}{1-q} c_p
\DD{}{t} (\ln T)
+ l \DD{}{t} \left( \frac{1}{T} \frac{q}{1-q} \right)$  

全部 $q$ を使って書き換えた. 更に変形すると
$\displaystyle \DD{s}{t}$ $\textstyle =$ $\displaystyle - R_d \frac{1}{p (1-q)} \DD{}{t} \left\{ p (1-q) \right\}
+ \frac...
...T}{t} \frac{q}{1-q}
+ \frac{1}{T} \DD{}{t} \left( \frac{q}{1-q} \right)
\right]$ (52)

これより, $\DD{S}{z} =0$ となる条件は
$\displaystyle - \frac{R_d}{p (1-q)} \DD{}{z} \left\{ p (1-q) \right\}
+ \frac{1...
...\frac{q}{1-q} \DD{T}{z}
+ \frac{l}{T} \DD{}{z} \left( \frac{q}{1-q} \right)
= 0$     (53)



$dS=0$ の式をどのような形にするのが best なのかは よくわからない. とりあえず, 扱いが容易かなと思った分母を全部払った 形にしてみる.

$\displaystyle - \frac{R_d}{p (1-q)} \DD{}{z} \left\{ p (1-q) \right\}
+ \frac{1...
...\DD{T}{z}
+ \frac{l}{T}
\frac{\DD{q}{z} (1-q) - q \DD{}{z}(1-q)}
{(1-q)^2}
= 0,$      
$\displaystyle - \frac{R_d}{p (1-q)} \DD{}{z} \left\{ p (1-q) \right\}
+ \frac{1...
...{l}{T} \frac{1}{(1-q)} \DD{q}{z}
+ \frac{l}{T} \frac{q}{(1-q)^2} \DD{q}{z}
= 0.$     (54)

この式の両辺に $T^2(1-q)^2$ をかける.
$\displaystyle - \frac{R_d}{p} T^2 (1-q) \DD{}{z} \left\{ p (1-q) \right\}
+ c_p...
...q)
\DD{T}{z}
- l q (1-q) \DD{T}{z}
+ l T (1-q) \DD{q}{z}
+ l T q \DD{q}{z}
= 0,$      
$\displaystyle - \frac{R_d}{p} T^2 (1-q) \DD{}{z} \left\{ p (1-q) \right\}
+ c_p T (1-q)
\DD{T}{z}
- l q (1-q) \DD{T}{z}
+ l T \DD{q}{z}
= 0,$     (55)

更に $dz$ をかければ
$\displaystyle - \frac{R_d}{p} T^2 (1-q) d \left\{ p (1-q) \right\}
+ c_p T (1-q)
dT
- l q (1-q) dT
+ l T dq
= 0,$     (56)



近似をせずに, 分母を払った形の式をそのまま離散化する.


    $\displaystyle - \frac{R_d}{p_{k-1/2}} T_{k-1/2}^2 (1-q_{k-1/2})
\left[ p_{k-1} ...
...k-1}) - p_{k} (1-q_{k}) \right]
+ c_p (1-q_{k-1/2}) T_{k-1/2}
(T_{k-1} - T_{k})$  
    $\displaystyle \qquad
- l q_{k-1/2} (1-q_{k-1/2}) (T_{k-1} - T_{k})
+ l T_{k-1/2} (q_{k-1} - q_{k})
= 0,$ (57)

ここで,
$\displaystyle T_{k-1/2}$ $\textstyle =$ $\displaystyle \frac{T_{k-1} + T_{k}}{2},$ (58)
$\displaystyle q_{k-1/2}$ $\textstyle =$ $\displaystyle \frac{q_{k-1} + q_{k}}{2}$ (59)

とすると(これ, 本当は良くないのだろう. $T_{k-1/2}$ については Arakawa and Suarez (1983) の正しい補間式を使うべきなような気がする. しかし, agcm5 時代に, サブルーチンの引数を変えるのが嫌だったので こうしている. dcpam ではサブルーチン内で $T_{k-1/2}$ を作る のでも良いかもしれない),
    $\displaystyle - \frac{R_d}{p_{k-1/2}}
\left( \frac{T_{k-1} + T_{k}}{2} \right)^...
..._{k-1} + q_{k}}{2} \right)
\left[ p_{k-1} (1-q_{k-1}) - p_{k} (1-q_{k}) \right]$  
    $\displaystyle \qquad
+ c_p \left( 1 - \frac{q_{k-1} + q_{k}}{2} \right)
\frac{T_{k-1} + T_{k}}{2}
(T_{k-1} - T_{k})$  
    $\displaystyle \qquad
- l \frac{q_{k-1} + q_{k}}{2}
\left( 1 - \frac{q_{k-1} + q_{k}}{2} \right) (T_{k-1} - T_{k})$  
    $\displaystyle \qquad
+ l \frac{T_{k-1} + T_{k}}{2} (q_{k-1} - q_{k})
= 0,$  
    $\displaystyle - \frac{R_d}{c_p}
\left( \frac{T_{k-1} + T_{k}}{2} \right)^2
\lef...
...rac{p_{k-1}}{p_{k-1/2}} (1-q_{k-1})
- \frac{p_{k}}{p_{k-1/2}} (1-q_{k})
\right]$  
    $\displaystyle \qquad
+ \left( 1 - \frac{q_{k-1} + q_{k}}{2} \right)
\frac{T_{k-1} + T_{k}}{2}
(T_{k-1} - T_{k})$  
    $\displaystyle \qquad
- \frac{L}{c_p} \frac{q_{k-1} + q_{k}}{2}
\left( 1 - \frac{q_{k-1} + q_{k}}{2} \right) (T_{k-1} - T_{k})$  
    $\displaystyle \qquad
+ \frac{L}{c_p} \frac{T_{k-1} + T_{k}}{2} (q_{k-1} - q_{k})
= 0$ (60)

潜熱が大文字になっちゃった... 最初から $L$ にしておくべき.

$\Delta T_{k-1}$ などを使って書き換える.

    $\displaystyle - \frac{R_d}{c_p} \frac{1}{4}
\left(
\hat{T}_{k-1} + \Delta T_{k-1} + \hat{T}_{k} + \Delta T_{k}
\right)^2$  
    $\displaystyle \qquad
\times
\left\{ 1
- \frac{1}{2}
\left( q^{*} (\hat{T}_{k-1}...
...t{T}_{k})
+ \left. \DP{q^{*}}{T} \right\vert _{k} \Delta T_{k} \right)
\right\}$  
    $\displaystyle \qquad
\times
\left[ \frac{p_{k-1}}{p_{k-1/2}}
\left( 1 - q^{*} (...
...at{T}_{k}) - \left. \DP{q^{*}}{T} \right\vert _{k} \Delta T_{k}
\right)
\right]$  
    $\displaystyle \quad
+ \left\{ 1 - \frac{1}{2} \left( q^{*} (\hat{T}_{k-1}) + \l...
...t{T}_{k}) + \left. \DP{q^{*}}{T} \right\vert _{k} \Delta T_{k} \right) \right\}$  
    $\displaystyle \qquad
\times
\frac{1}{2} \left( \hat{T}_{k-1} + \Delta T_{k-1} +...
...lta T_{k} \right)
(\hat{T}_{k-1} + \Delta T_{k-1} - \hat{T}_{k} - \Delta T_{k})$  
    $\displaystyle \quad
- \frac{L}{c_p} \frac{1}{2} \left( q^{*} (\hat{T}_{k-1}) + ...
...^{*} (\hat{T}_{k}) + \left. \DP{q^{*}}{T} \right\vert _{k} \Delta T_{k} \right)$  
    $\displaystyle \qquad
\times
\left\{ 1
- \frac{1}{2}
\left( q^{*} (\hat{T}_{k-1}...
...t{T}_{k})
+ \left. \DP{q^{*}}{T} \right\vert _{k} \Delta T_{k} \right)
\right\}$  
    $\displaystyle \qquad
\times
(\hat{T}_{k-1} + \Delta T_{k-1} - \hat{T}_{k} - \Delta T_{k})$  
    $\displaystyle \quad
+ \frac{L}{c_p}
\frac{1}{2}
\left( \hat{T}_{k-1} + \Delta T_{k-1} + \hat{T}_{k} + \Delta T_{k} \right)$  
    $\displaystyle \qquad
\times
\left( q^{*} (\hat{T}_{k-1}) + \left. \DP{q^{*}}{T}...
... (\hat{T}_{k}) - \left. \DP{q^{*}}{T} \right\vert _{k} \Delta T_{k} \right)
= 0$ (61)

ここで, 以下の変数達を導入する.

$\displaystyle MM$ $\textstyle \equiv$ $\displaystyle 1 - \frac{1}{2} q^{*} (\hat{T}_{k-1})
- \frac{1}{2} q^{*} (\hat{T}_{k}),$ (62)
$\displaystyle D_{k-1}$ $\textstyle \equiv$ $\displaystyle \left. \DP{q^{*}}{T} \right\vert _{k-1},$ (63)
$\displaystyle D_{k-1}$ $\textstyle \equiv$ $\displaystyle \left. \DP{q^{*}}{T} \right\vert _{k},$ (64)
$\displaystyle TP$ $\textstyle \equiv$ $\displaystyle \hat{T}_{k-1} + \hat{T}_{k},$ (65)
$\displaystyle TM$ $\textstyle \equiv$ $\displaystyle \hat{T}_{k-1} - \hat{T}_{k},$ (66)
$\displaystyle M_{k-1}$ $\textstyle \equiv$ $\displaystyle 1 - q^{*} (\hat{T}_{k-1}),$ (67)
$\displaystyle M_{k}$ $\textstyle \equiv$ $\displaystyle 1 - q^{*} (\hat{T}_{k}),$ (68)
$\displaystyle F$ $\textstyle \equiv$ $\displaystyle \frac{R_d}{c_p},$ (69)
$\displaystyle E$ $\textstyle \equiv$ $\displaystyle \frac{L}{c_p},$ (70)
$\displaystyle QP$ $\textstyle \equiv$ $\displaystyle q^{*} (\hat{T}_{k-1}) + q^{*} (\hat{T}_{k}),$ (71)
$\displaystyle QM$ $\textstyle \equiv$ $\displaystyle q^{*} (\hat{T}_{k-1}) - q^{*} (\hat{T}_{k}),$ (72)
$\displaystyle P_{k-1}$ $\textstyle \equiv$ $\displaystyle \frac{p_{k-1}}{p_{k-1/2}},$ (73)
$\displaystyle P_{k}$ $\textstyle \equiv$ $\displaystyle \frac{p_{k}}{p_{k-1/2}}$ (74)

これらの記号を用いて, 先程の式を書き換えると以下のように なる.

    $\displaystyle - \frac{F}{4}
\left( TP + \Delta T_{k-1} + \Delta T_{k}
\right)^2...
...
- \frac{1}{2} D_{k-1} \Delta T_{k-1}
- \frac{1}{2} D_{k} \Delta T_{k}
\right\}$  
    $\displaystyle \qquad
\times
\left[ P_{k-1} \left( M_{k-1} - D_{k-1} \Delta T_{k-1} \right)
- P_{k} \left( M_{k} - D_{k} \Delta T_{k} \right)
\right]$  
    $\displaystyle \quad
+ \frac{1}{2}
\left\{ MM - \frac{1}{2} \left( D_{k-1} \Delt...
...TP + \Delta T_{k-1} + \Delta T_{k} \right)
(TM + \Delta T_{k-1} - \Delta T_{k})$  
    $\displaystyle \quad
- \frac{E}{2}
\left( QP + D_{k-1} \Delta T_{k-1} + D_{k} \D...
...\frac{1}{2} \left( D_{k-1} \Delta T_{k-1} + D_{k} \Delta T_{k} \right) \right\}$  
    $\displaystyle \qquad
\times
(TM + \Delta T_{k-1} - \Delta T_{k})$  
    $\displaystyle \quad
+ \frac{E}{2}
\left( TP + \Delta T_{k-1} + \Delta T_{k} \right)
\left( QM + D_{k-1} \Delta T_{k-1} - D_{k} \Delta T_{k} \right)
= 0$ (75)

この式をまともに解くことは大変なので, やむをえず近似する. $\Delta$ が 2 つ以上かかった項を無視することにする. おそらく「1 次近似」と言って良いのだろう, とは 思っているが, この近似の妥当性に関して現段階ではまったく 検討していない.

式を展開しつつ「2 次以上の項」を順次無視していくと, 以下のようになる.

    $\displaystyle - \frac{F}{4}
\left\{ TP^2 + 2 TP \cdot (\Delta T_{k-1} + \Delta ...
...M
- \frac{1}{2} D_{k-1} \Delta T_{k-1}
- \frac{1}{2} D_{k} \Delta T_{k}
\right)$  
    $\displaystyle \qquad
\times
\left( P_{k-1} M_{k-1} - P_{k-1} D_{k-1} \Delta T_{k-1}
- P_{k} M_{k} + P_{k} D_{k} \Delta T_{k}
\right)$  
    $\displaystyle \quad
+ \frac{1}{2}
\left( MM - \frac{1}{2} D_{k-1} \Delta T_{k-1...
...Delta T_{k-1} + \Delta T_{k}) TM
+ ( \Delta T_{k-1} - \Delta T_{k}) TP
\right\}$  
    $\displaystyle \quad
- \frac{E}{2}
\left( QP + D_{k-1} \Delta T_{k-1} + D_{k} \Delta T_{k} \right)$  
    $\displaystyle \qquad
\times
\left\{ MM \cdot TM
+ ( \Delta T_{k-1} - \Delta T_{...
...1}{2} D_{k-1} \Delta T_{k-1} - \frac{1}{2} D_{k} \Delta T_{k}\right)TM \right\}$  
    $\displaystyle \quad
+ \frac{E}{2}
\left\{ TP \cdot QM
+ \left( D_{k-1} \Delta T...
...D_{k} \Delta T_{k} \right) TP
+ (\Delta T_{k-1} + \Delta T_{k}) QM
\right\}
= 0$ (76)


    $\displaystyle - \frac{F}{4}
\left\{ TP^2 \cdot MM
- \frac{1}{2} TP^2
\left(
D_{...
...} \Delta T_{k}
\right)
+ 2 TP \cdot MM (\Delta T_{k-1} + \Delta T_{k})
\right\}$  
    $\displaystyle \quad
\times
\left\{ \left( P_{k-1} M_{k-1} - P_{k} M_{k} \right)
- P_{k-1} D_{k-1} \Delta T_{k-1}
+ P_{k} D_{k} \Delta T_{k}
\right\}$  
    $\displaystyle + \frac{1}{2}
\left\{
MM \cdot TP \cdot TM
+ \left\{
(\Delta T_{k-1} + \Delta T_{k}) TM
+ ( \Delta T_{k-1} - \Delta T_{k}) TP
\right\} MM
\right.$  
    $\displaystyle \quad \left.
- TP \cdot TM
\left( \frac{1}{2} D_{k-1} \Delta T_{k-1}
+ \frac{1}{2} D_{k} \Delta T_{k}
\right)
\right\}$  
    $\displaystyle - \frac{E}{2}
\left\{ QP \cdot MM \cdot TM
+ MM \cdot QP ( \Delta...
...c{1}{2} D_{k-1} \Delta T_{k-1}
- \frac{1}{2} D_{k} \Delta T_{k}
\right)
\right.$  
    $\displaystyle \quad \left.
+ MM \cdot TM (D_{k-1} \Delta T_{k-1} + D_{k} \Delta T_{k} )
\right\}$  
    $\displaystyle + \frac{E}{2}
\left\{ TP \cdot QM
+ ( TP \cdot D_{k-1} + QM ) \Delta T_{k-1}
+ ( - TP \cdot D_{k} + QM ) \Delta T_{k}
\right\}
= 0$ (77)

更に第 1 項を展開する.
    $\displaystyle - \frac{F}{4}
\left[ TP^2 \cdot MM \left( P_{k-1} M_{k-1} - P_{k}...
...\{
- P_{k-1} D_{k-1} \Delta T_{k-1}
+ P_{k} D_{k} \Delta T_{k}
\right\}
\right.$  
    $\displaystyle \qquad \left.
+ \left( P_{k-1} M_{k-1} - P_{k} M_{k} \right)
\lef...
... T_{k}
\right)
+ 2 TP \cdot MM (\Delta T_{k-1} + \Delta T_{k})
\right\}
\right]$  
    $\displaystyle + \frac{1}{2}
\left\{
MM \cdot TP \cdot TM
+ \left\{
(\Delta T_{k-1} + \Delta T_{k}) TM
+ ( \Delta T_{k-1} - \Delta T_{k}) TP
\right\} MM
\right.$  
    $\displaystyle \qquad \left.
- TP \cdot TM
\left( \frac{1}{2} D_{k-1} \Delta T_{k-1}
+ \frac{1}{2} D_{k} \Delta T_{k} \right)
\right\}$  
    $\displaystyle - \frac{E}{2}
\left\{ QP \cdot MM \cdot TM
+ MM \cdot QP ( \Delta...
...c{1}{2} D_{k-1} \Delta T_{k-1}
- \frac{1}{2} D_{k} \Delta T_{k}
\right)
\right.$  
    $\displaystyle \qquad \left.
+ MM \cdot TM (D_{k-1} \Delta T_{k-1} + D_{k} \Delta T_{k} )
\right\}$  
    $\displaystyle + \frac{E}{2}
\left\{ TP \cdot QM
+ ( TP \cdot D_{k-1} + QM ) \Delta T_{k-1}
+ ( - TP \cdot D_{k} + QM ) \Delta T_{k}
\right\}
= 0$ (78)

この式を $\Delta T_{k-1}$ の項と $\Delta T_{k}$ の項に まとめていく. まずばらす.
    $\displaystyle - \frac{F}{4}
\left[ TP^2 \cdot MM \left( P_{k-1} M_{k-1} - P_{k}...
...P_{k-1} D_{k-1} \Delta T_{k-1}
+ TP^2 \cdot MM P_{k} D_{k} \Delta T_{k}
\right.$  
    $\displaystyle \qquad \left.
- \frac{1}{2} \left( P_{k-1} M_{k-1} - P_{k} M_{k} ...
...2} \left( P_{k-1} M_{k-1} - P_{k} M_{k} \right) TP^2 D_{k} \Delta T_{k}
\right.$  
    $\displaystyle \qquad \left.
+ 2 \left( P_{k-1} M_{k-1} - P_{k} M_{k} \right) TP...
...2 \left( P_{k-1} M_{k-1} - P_{k} M_{k} \right) TP \cdot MM \Delta T_{k}
\right]$  
    $\displaystyle + \frac{1}{2}
\left\{ MM \cdot TP \cdot TM
+ TM \cdot MM \Delta T...
...MM \Delta T_{k}
+ TP \cdot MM \Delta T_{k-1} - TP \cdot MM \Delta T_{k}
\right.$  
    $\displaystyle \qquad \left.
- TP \cdot TM \frac{1}{2} D_{k-1} \Delta T_{k-1}
- TP \cdot TM \frac{1}{2} D_{k} \Delta T_{k}
\right\}$  
    $\displaystyle - \frac{E}{2}
\left\{ QP \cdot MM \cdot TM
+ MM \cdot QP \Delta T...
...}{2} D_{k-1} \Delta T_{k-1}
- TM \cdot QP\frac{1}{2} D_{k} \Delta T_{k}
\right.$  
    $\displaystyle \qquad \left.
+ MM \cdot TM D_{k-1} \Delta T_{k-1}
+ MM \cdot TM D_{k} \Delta T_{k}
\right\}$  
    $\displaystyle + \frac{E}{2}
\left\{ TP \cdot QM
+ ( TP \cdot D_{k-1} + QM ) \Delta T_{k-1}
+ ( - TP \cdot D_{k} + QM ) \Delta T_{k}
\right\}
= 0$ (79)

ついで, まとめる.
    $\displaystyle - \frac{F}{4} TP^2 \cdot MM \left( P_{k-1} M_{k-1} - P_{k} M_{k} \right)$  
    $\displaystyle - \frac{F}{4}
\left\{
- TP^2 \cdot MM \cdot P_{k-1} \cdot D_{k-1}...
... \frac{1}{2} TP^2 \cdot D_{k-1} + 2 TP \cdot MM \right)
\right\} \Delta T_{k-1}$  
    $\displaystyle - \frac{F}{4}
\left\{
TP^2 \cdot MM \cdot P_{k} \cdot D_{k}
+ \le...
...t( - \frac{1}{2} TP^2 \cdot D_{k} + 2 TP \cdot MM \right)
\right\} \Delta T_{k}$  
    $\displaystyle + \frac{1}{2} MM \cdot TP \cdot TM$  
    $\displaystyle + \frac{1}{2}
\left\{
TM \cdot MM + TP \cdot MM
- \frac{1}{2} TP \cdot TM \cdot D_{k-1}
\right\} \Delta T_{k-1}$  
    $\displaystyle + \frac{1}{2}
\left\{
TM \cdot MM - TP \cdot MM
- \frac{1}{2} TP \cdot TM \cdot D_{k}
\right\} \Delta T_{k}$  
    $\displaystyle - \frac{E}{2} QP \cdot MM \cdot TM$  
    $\displaystyle - \frac{E}{2}
\left(
MM \cdot QP - \frac{1}{2} TM \cdot QP \cdot D_{k-1}
+ MM \cdot TM \cdot D_{k-1}
\right) \Delta T_{k-1}$  
    $\displaystyle - \frac{E}{2}
\left(
- MM \cdot QP - \frac{1}{2} TM \cdot QP \cdot D_{k}
+ MM \cdot TM \cdot D_{k}
\right) \Delta T_{k}$  
    $\displaystyle + \frac{E}{2} TP \cdot QM
+ \frac{E}{2} ( TP \cdot D_{k-1} + QM ) \Delta T_{k-1}
+ \frac{E}{2} ( - TP \cdot D_{k} + QM ) \Delta T_{k}
= 0$ (80)

ここで, 以下のように変数をまとめる (前の $St$ とはちゃんと対応 しているんだろうね???).
$\displaystyle St$ $\textstyle \equiv$ $\displaystyle \frac{F}{4} TP^2 \cdot MM \left( P_{k-1} M_{k-1} - P_{k} M_{k} \right)
- \frac{1}{2} MM \cdot TP \cdot TM$  
    $\displaystyle + \frac{E}{2} QP \cdot MM \cdot TM
- \frac{E}{2} TP \cdot QM$ (81)
$\displaystyle B$ $\textstyle \equiv$ $\displaystyle - \frac{F}{4}
\left\{
- TP^2 \cdot MM \cdot P_{k-1} \cdot D_{k-1}...
...\right)
\left(- \frac{1}{2} TP^2 \cdot D_{k-1} + 2 TP \cdot MM \right)
\right\}$  
    $\displaystyle + \frac{1}{2}
\left\{
TM \cdot MM + TP \cdot MM
- \frac{1}{2} TP \cdot TM \cdot D_{k-1}
\right\}$  
    $\displaystyle - \frac{E}{2}
\left(
MM \cdot QP - \frac{1}{2} TM \cdot QP \cdot ...
...-1}
+ MM \cdot TM \cdot D_{k-1}
\right)
+ \frac{E}{2} ( TP \cdot D_{k-1} + QM )$ (82)
$\displaystyle C$ $\textstyle \equiv$ $\displaystyle - \frac{F}{4}
\left\{
TP^2 \cdot MM \cdot P_{k} \cdot D_{k}
+ \le...
... \right)
\left( - \frac{1}{2} TP^2 \cdot D_{k} + 2 TP \cdot MM \right)
\right\}$  
    $\displaystyle + \frac{1}{2}
\left\{
TM \cdot MM - TP \cdot MM
- \frac{1}{2} TP \cdot TM \cdot D_{k}
\right\}$  
    $\displaystyle - \frac{E}{2}
\left(
- MM \cdot QP - \frac{1}{2} TM \cdot QP \cdot D_{k}
+ MM \cdot TM \cdot D_{k}
\right)
+ \frac{E}{2} ( - TP \cdot D_{k} + QM )$ (83)

これより,
$\displaystyle B \Delta T_{k-1} + C \Delta T_{k} = St$     (84)

となる. ここで, $\sum h =0$ より得られる
$\displaystyle \Delta T_{k-1}$ $\textstyle =$ $\displaystyle - \frac{1 + \gamma_{k}}{1+\gamma_{k-1}}
\frac{\Delta p_{k}}{\Delt...
... \frac{1}{1+\gamma_{k-1}}
\frac{L}{c_p}
\Delta \hat{Q}
\frac{1}{\Delta p_{k-1}}$ (85)
  $\textstyle \equiv$ $\displaystyle \alpha \Delta T_{k} + \beta$ (86)

を代入すると
$\displaystyle B \left( \alpha \Delta T_{k} + \beta \right) + C T_{k} = St$     (87)

これを, $\Delta T_{k}$ について解けば
$\displaystyle T_{k} = \frac{St - \beta B }{C + \alpha B}$     (88)



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... 浅い積雲5
dennou モデルには Tiedtke による, 係数を増やす形のもの がある.
... 荒川シューバートスキーム6
dcpamには現在存在しない.

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Yasuhiro MORIKAWA 平成20年1月30日